Zadania

Niech \(I\) będzie środkiem okręgu wpisanego w rozważany trapez. Wówczas \[\measuredangle IAP=\frac{1}{2}\measuredangle DAB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\measuredangle ABC) =\measuredangle QPB,\] stąd \(PQ\!\parallel \! AI.\) Podobnie \(DI\parallel QR,\) więc trójkąty \(ADI\) oraz \(PXQ\) mają odpowiednie boki równoległe, a więc są jednokładne. Środek tej jednokładności jest punktem przecięcia prostych \(AB,\) \(QS\) i  \(DX.\)

Załóżmy przeciwnie, tj. \[\displaystyle a\leq 5b-\frac{4}{b^2}.\] Wtedy \[5b-\frac{4}{b^2}+\frac{1}{a^2}\ge a+\frac{1}{a^2}\ge 5b-\frac{3}{b^2},\] wobec tego \(\displaystyle \frac{1}{a^2}\geq \frac{1}{b^2},\) skąd \(a\leq b.\) Jednakże wtedy \[a+\frac{1}{a^2}\ge 5b-\frac{3}{b^2}\ge 5a-\frac{3}{a^2},\] co oznacza, że \(\displaystyle \frac{4}{a^2}\ge 4a,\) a więc \(a\leq 1\) – sprzeczność.

Chcemy pokazać, że istnieją dodatnie liczby całkowite \(a,\) \(b,\) \(c\) takie, że \[n+a^2=(a+b)(a+c),\] więc wystarczy, aby liczba \(n+a^2\) była iloczynem dwóch liczb całkowitych większych od \(a.\) Na mocy założeń zadania możemy znaleźć taką liczbę pierwszą \(p\) oraz liczbę całkowitą \(m>0,\) że \(n=p^{2}m.\) Rozważmy cztery przypadki:

1. \(m+1>p.\) Możemy wtedy wziąć \(a=p,\) gdyż \(n+a^2=p^2\cdot (m+1)\) i zarówno \(p^2,\) jak i \(m+1\) są większe od \(a.\)

2. \(m+1<p\) i \(m+1\) jest liczbą złożoną. Niech \(m+1=st\) dla pewnych liczb całkowitych \(s,t>1.\) Znów możemy przyjąć \(a=p,\) gdyż \(n+a^2=ps\cdot pt\) i obie liczby \(ps\) i  \(pt\) są większe od \(a.\)

3. \(m+1<p\) i \(m+1\) jest liczbą pierwszą. Niech \(m+1=q\) i podzielmy \(p\) przez \(q\) z resztą: \(p=\ell q+r,\) gdzie \(r>0.\) Weźmy \(a=r,\) wtedy \(n+a^2=q\cdot (\ell^2mq+2\ell m r+r^2)\) i oba czynniki są większe od \(r.\)

4. \(m+1=p.\) Wtedy oczywiście \(n=p^3-p^2>20,\) więc możemy założyć, że \(p\geq 4.\) Zachodzi \[n+6^2=(p+3)\cdot (p^2-4p+12),\] przy czym oba czynniki po prawej stronie są większe od 6.

W każdym z przypadków dostaliśmy żądany rozkład, więc teza zadania została udowodniona.

Po gwałtownym obniżeniu ciśnienia woda zacznie parować w całej objętości. Powstająca para pobiera ciepło od ciekłej wody, powodując jej krzepnięcie (woda ma temperaturę 0. Proces parowania jest bardzo szybki, a więc proporcje mas lodu i pary zaraz po obniżeniu ciśnienia określone są jedynie przez wartości ciepła parowania i ciepła topnienia. Niech \(m_l\) oznacza masę wytworzonego lodu. Mamy: \[L_f\cdot m_l = L_v\cdot(m - m_l).\] Otrzymujemy masę lodu: \[m_l = \frac{L_vm}{L_v + L_f}.\] Liczbowo \(m_l \approx 8{,}71\)  g. W stanie równowagi, który zostanie osiągnięty w wyniku dalszych, powolnych procesów sublimacji/resublimacji masa lodu będzie zależała także od objętości pod tłokiem dostępnej dla pary wodnej.

W równowadze termodynamicznej średnie energie kinetyczne atomów helu i neonu są równe i proporcjonalne do temperatury w skali Kelwina. Oznacza to, że ich średnie prędkości są odwrotnie proporcjonalne do pierwiastków ich mas: \[\frac{v_{\rm He}}{v_{Ne}} = \sqrt{\frac{m_{\rm Ne}}{m_{\rm He}}} = \sqrt{5}.\] Gdyby w pojemniku znajdował się jeden rodzaj gazu, to czas opróżniania pojemnika z helu byłby \(\sqrt{5}\) razy krótszy niż czas opróżniania z neonu. Ponieważ oba gazy można traktować jak gazy doskonałe, których atomy nie oddziałują ze sobą, więc przy takiej samej liczbie moli w pojemniku, w jednostce czasu liczba atomów helu opuszczających pojemnik będzie \(\sqrt{5}\) razy większa niż liczba atomów neonu: \[\frac{n_{\rm He}}{n_{\rm Ne}} = \sqrt{5}.\] Wraz z ubywaniem gazu skład wiązki będzie ulegał zmianie, bo helu ubywa szybciej niż neonu.