Kilka lat temu matematyka rekreacyjna trafiła pod zaśnieżone strzechy dzięki pewnej zabawnej własności liczby \(2020\) – mianowicie pierwsza cyfra tej liczby określa liczbę wystąpień cyfry \(0\) w jej zapisie dziesiętnym, druga cyfra – liczbę wystąpień cyfry \(1,\) a trzecia i czwarta – liczby wystąpień cyfr \(2\) i \(3,\) odpowiednio . Liczby o wynikającej z tego opisu własności nazywamy autobiograficznymi. Oczywiście liczba liczb autobiograficznych jest skończona – są to liczby co najwyżej dziesięciocyfrowe. Istnieje dokładnie siedem liczb autobiograficznych, a największa z nich to \(6\,210\,001\,000.\)
Więcej o liczbach autobiograficznych można przeczytać w tekście Piotra Zarzyckiego i Ryszarda Kubiaka O liczbach autobiograficznych, \(\Delta^{12}_{20}\) .
Przyjrzymy się liczbom, które również w pewnym sensie same się opisują, ale metoda ich autodeskrypcji jest poniekąd subtelniejsza. Najpierw przypomnijmy sobie początkowe dziewięć liczb pierwszych: \[p_1=2,\ p_2=3,\ p_3=5,\ p_4=7,\ p_5=11,\ p_6=13,\ p_7=17,\ p_8=19 \ \mbox{ oraz }\ p_9=23.\]
Rozkład liczby \(\textcolor{#007A6C}{14}\) na czynniki to \(14=2\cdot7.\) Zauważmy, że \(2\) jest pierwszą , a \(7\) – czwartą liczbą pierwszą. Zatem mamy \[\textcolor{#007A6C}{14}=2\cdot7=p_{\textcolor{#007A6C}{1}}\cdot p_{\textcolor{#007A6C}{4}}.\] Wśród liczb niezawierających cyfry \(0\) są znane jeszcze trzy, których każda cyfra w zapisie dziesiętnym odpowiada pojedynczemu elementowi iloczynu w rozkładzie na czynniki pierwsze: \[\begin{aligned} \textcolor{#007A6C}{154}=&\,2\cdot11\cdot7=p_{\textcolor{#007A6C}{1}}\cdot p_{\textcolor{#007A6C}{5}}\cdot p_{\textcolor{#007A6C}{4}},\\ \textcolor{#007A6C}{1196}=&\,2\cdot2\cdot23\cdot13=p_{\textcolor{#007A6C}{1}}\cdot p_{\textcolor{#007A6C}{1}}\cdot p_{\textcolor{#007A6C}{9}}\cdot p_{\textcolor{#007A6C}{6}},\\ \textcolor{#007A6C}{279\,174}=&\,3\cdot17\cdot23\cdot2\cdot17\cdot7=p_{\textcolor{#007A6C}{2}}\cdot p_{\textcolor{#007A6C}{7}}\cdot p_{\textcolor{#007A6C}{9}}\cdot p_{\textcolor{#007A6C}{1}}\cdot p_{\textcolor{#007A6C}{7}}\cdot p_{\textcolor{#007A6C}{4}}. \end{aligned}\] W przeciwieństwie do klasycznych liczb autobiograficznych, tutaj nie mamy naturalnego ograniczenia górnego na rozmiar szukanych liczb – mnożąc przez siebie \(n\) liczb pierwszych, można otrzymać liczbę \(n\) -cyfrową. Czy zatem istnieje więcej liczb o rozpatrywanej własności? Czy istnieje ich nieskończenie wiele, czy może jest jeszcze chociaż jedna? Obecnie nie wiadomo – a szkoda, bo bardzo chciałbym to wiedzieć.
Rozpatrywane zagadnienie można rozszerzyć o liczby zawierające cyfrę \(0\) w zapisie dziesiętnym – na przykład przyjmując \(p_0=1\) (co skutkuje ignorowaniem każdego wystąpienia tej cyfry), albo też rozpatrywać w innych systemach pozycyjnych. Końcowe pytanie o liczbę liczb o rozpatrywanej własności jest otwarte też w tych wariantach.
Osobiście udało mi się sprawdzić, że piątego elementu na pewno nie ma wśród liczb co najwyżej \(23\) -cyfrowych. Nie jestem pod tym względem rekordzistą, na co wskazują informacje zawarte w encyklopedii OEIS – opisywany ciąg występuje w niej pod numerem A097227 . Jak się okazuje, dużo większy zakres sprawdził Chai Wah Wu – amerykański badacz z IBM.