Zadania

Zauważmy, że każda wieża atakuje łącznie 15 pól: 7 pól w kolumnie i 7 pól w rzędzie, w którym stoi, plus pole, na którym stoi. Wybierzmy dowolnie wieżę \(A\) stojącą na polu \(a.\) Atakowane przez \(A\) pola (poza \(a\)) połączymy w pary w następujący sposób: dla każdej wieży \(B\) stojącej na polu \(b\neq a\) parujemy pola \((c,d)\) atakowane jednocześnie przez \(A\) i \(B.\) Zauważmy, że w ramach każdej takiej pary: albo oba pola \(c\) i \(d\) należą połowicznie do \(A\) (jeśli \(a,\) \(b,\) \(c\) i \(d\) tworzą kwadrat), albo dokładnie jedno z nich należy w całości do \(A,\) a drugie do \(B\) (w przeciwnym przypadku). W rezultacie każda wieża posiada w sumie 8 pól: pole, na którym stoi, i połowę z pozostałych 14 pól.

Niech \(K\) i \(L\) będą środkami, odpowiednio, przekątnych \(AC\) i \(BD.\) Wtedy \(KN\) i \(LM\) są odpowiednio liniami środkowymi trójkątów \(ABC\) i \(ABD.\) Zatem czworokąt \(MKNL\) jest równoległobokiem.

Ponadto z równości \(AB = CD\) wynika, że \(NK = NL,\) czyli \(MKNL\) jest rombem. W szczególności punkty \(K\) i \(L\) leżą na symetralnej odcinka \(MN,\) czyli na prostej \(PQ.\) Dodatkowo \(\measuredangle APQ = \measuredangle NKL = \measuredangle NLK = \measuredangle DQP.\)

Poprowadźmy prostą równoległą do \(PQ\) przechodzącą przez punkt \(D.\) Niech \(T\) będzie punktem przecięcia tej prostej z prostą \(AB.\) Z twierdzenia Talesa łatwo dostajemy, że \(BP = PT.\) Ponadto \(TPQD\) jest trapezem o równych kątach przy wierzchołkach \(P\) i \(Q,\) czyli jest trapezem równoramiennym. W szczególności \(QD = PT = BP,\) skąd \(AP = CQ.\)

Odpowiedź: \(f(x)\equiv 0,\) \(f(x)=x.\)

Kładąc \(y=0,\) dostajemy, że \(f(0)=0.\) Jeśli \(f(x_{0})=0\) dla pewnego \(x_{0}\neq 0,\) to kładąc \(x=x_{0},\) dostaniemy, że \(y f(x_0(y+1)) =0\) dla dowolnego \(x\in \mathbb{R},\) więc \(f\equiv 0\) – i jest to pierwsze rozwiązanie równania.

Załóżmy teraz, że \(f(x)=0\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(x=0.\) Przypuśćmy, że dla pewnej liczby rzeczywistej \(a\neq 0\) mamy \(f(a)\neq a.\) Połóżmy \(x=a\) i \(y=\frac{a}{f(a)-a},\) wtedy \[\frac{f(a)}{f(a)-a} \cdot f\left(\frac{af(a)}{f(a)-a}\right) = \frac{a}{f(a)-a}\cdot f\left(\frac{af(a)}{f(a)-a}\right).\] Zauważmy jednak, że \(f\left(\frac{af(a)}{f(a)-a}\right )\neq 0,\) gdyż \(\frac{af(a)}{f(a)-a}\neq 0,\) zatem dzieląc obie strony powyższej równości przez \(f\left(\frac{af(a)}{f(a)-a}\right ),\) dostajemy równość \[\frac{f(a)}{f(a)-a}= \frac{a}{f(a)-a},\] z której oczywiście wynika, że \(f(a)=a\) – sprzeczność z założeniem. Wobec tego \(f\) jest identycznością.

Pod wpływem pola elektrycznego \(\vec E(\vec R)\) ładunku \(q\) następuje polaryzacja ładunków kulki nienaładowanej i indukuje się w niej dipolowy moment elektryczny \(\vec d\) (wektor \(\vec d\) ma zwrot od ujemnego do dodatniego ładunku dipola) wartości proporcjonalnej do pola \(\vec d \propto \vec E(\vec R).\) Energia potencjalna \(U\) dipola umieszczonego w polu elektrycznym wynosi: \(U = -\vec d \cdot \vec E,\) a siła \(\vec F\) działająca na dipol równa jest minus gradient energii potencjalnej \(U\): \(\vec F = - \nabla U.\) Wektor \(\vec R,\) pole \(\vec E(\vec R)\) oraz wektor \(\vec d\) są równoległe i zwrócone od dodatniego ładunku \(q\) – w takim przypadku problem staje się jednowymiarowy i gradient można zastąpić zwykłym różniczkowaniem względem \(R.\) Mamy więc: \[\vec E \propto \frac{q\vec R}{R^3} ;\ \ \ \vec d = \alpha \vec E ;\ \ \ U = -\alpha E^2 \propto -\frac{q^2}{R^4} ,\] a więc \[F \propto \frac{d}{d R}\biggl(\frac {q^2}{R^4}\biggr) \propto -\frac{q^2}{R^5}.\] Po \(k\)-krotnym zwiększeniu odległości między kulkami siła ich oddziaływania nie zmieni się, jeśli \(Q^2 = qk^5,\) czyli: \[Q = k^{5/2} = k^2\sqrt{k}.\] Niezależnie od znaku ładunku \(q\) (\(Q\)) kulki się przyciągają.

Rozchodzenie się dźwięku w gazie polega na propagacji zgęszczeń i rozrzedzeń gazu. Taka propagacja jest możliwa, gdy długość fali \(\lambda\) jest większa od średniej odległości pokonywanej przez cząsteczki gazu między kolejnymi zderzeniami w ich ruchu termicznym. Oznacza to, że fale o długościach mniejszych od średniej drogi swobdnej \(l\) cząsteczek są silnie tłumione. Oszacujmy wartość średniej drogi swobodnej w gazie o gęstości \(n\) (liczba cząsteczek w 1 m\(^3\) gazu), gdy średnica cząsteczki wynosi \(d\) (przyjmujemy, że cząsteczki są w przybliżeniu kuliste): \[l \sim \frac{1}{\pi d^2 n}\] – zderzenie następuje, gdy środki cząsteczek znajdą się w odległości mniejszej niż \(d.\) W powietrzu, w warunkach normalnych \(l \approx 7\cdot 10^{-8}\) m, co odpowiada częstości dźwięku \(f \approx 5\cdot 10^9\) Hz.