Zadania - Delta

Zadanie M 1807

Dane są dwa ciągi arytmetyczne, \(a_1,\) \(a_2,\) \(\ldots\) i \(b_1,\) \(b_2,\) \(\ldots,\) składające się z liczb całkowitych dodatnich. Wiadomo, że \(a_1 = b_1\) oraz dla każdej liczby całkowitej \(n\geq 1\) liczby \(a_n\) i \(b_n\) dają równe reszty z dzielenia przez \(n.\) Udowodnić, że te ciągi są identyczne.

Rozwiązanie

Skoro pierwsze wyrazy danych ciągów są takie same, wystarczy udowodnić równość ich różnic \(a\) i \(b.\) Z warunków zadania wynika, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej \(n\) liczba \[\begin{aligned} b_{n}-a_{n}& =(b_{1}+(n-1)b)-(a_{1}+(n-1)a)\\ &=(n-1)(b-a) \end{aligned}\] jest podzielna przez \(n,\) co oznacza, że liczba \(b-a\) jest podzielna przez \(n.\) Stwierdziliśmy więc, że liczba całkowita \(b-a\) jest podzielna przez dowolną liczbę całkowitą dodatnią, a to jest możliwe tylko wtedy, gdy \(b-a=0.\)

Zadanie M 1808

Dane są dwa ciągi liczb całkowitych dodatnich \(x_{1},\) \(x_{2},\) \(\ldots,\) \(x_{m}\) oraz \(y_{1},\) \(y_{2},\) \(\ldots,\) \(y_{n},\) których sumy \(x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{m}\) i \(y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n}\) są równe \(s<nm.\) Udowodnić, że w równości \[x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{m}=y_{1}+y_{2}+\ldots +y_{n}\] można wykreślić część składników, zachowując jej prawdziwość.

Rozwiązanie

Rozważmy okrąg o długości \(s\) i podzielmy go na równe łuki o długości \(1.\) Zaznaczmy na czerwono \(m\) punktów podziału okręgu na łuki o długościach \(x_{1},\) \(x_{2},\) \(\ldots,\) \(x_{m}\) i kolorem niebieskim \(n\) punktów podziału okręgu na łuki o długościach \(y_{1},\) \(y_{2},\) \(\ldots,\) \(y_{m}.\) Na podstawie zadania M 1806 z poprzedniego numeru pewne dwa łuki, \(A_{i_1} A_{i_2}\) i \(B_{j_{1}} B_{j_2},\) są równej długości. Usuwając te długości z równości, zachowujemy jej prawdziwość.

Zadanie M 1809

W czworościanie \(ABCD\) na ścianach \(BCD\) i \(ACD\) znajdują się, odpowiednio, punkty \(A'\) oraz \(B'\) takie, że \[\measuredangle AB'C = \measuredangle AB'D = \measuredangle BA'C = \measuredangle BA'D = 120^{\circ}.\] Wiadomo, że proste \(AA'\) i \(BB'\) przecinają się. Udowodnić, że odległości punktów \(A'\) oraz \(B'\) od prostej \(CD\) są równe.

Rozwiązanie

Z warunków zadania wynika, że punkty \(A,\) \(A',\) \(B,\) \(B'\) leżą w tej samej płaszczyźnie, zatem proste \(BA'\) i \(AB'\) przecinają krawędź \(CD\) w jednym punkcie \(X.\) Z równości kątów wynika, że proste te są dwusiecznymi kątów, odpowiednio, \(CA'D,\) \(CB'D.\) Zatem z twierdzenia o dwusiecznej dostajemy \[\frac{CA'}{A'D}= \frac{CX}{XD} = \frac{CB'}{B'D},\] a ponieważ \(\measuredangle CA'D = \measuredangle CB'D = 120^{\circ},\) trójkąty \(CA'D\) i \(CB'D\) są podobne. Ponieważ \(CD\) jest wspólnym bokiem tych trójkątów, są one przystające. Oczywiście w tych przystających trójkątach odpowiadające im wysokości z wierzchołków \(A'\) i \(B'\) są równe.

Zadanie F 1113

Planeta o masie \(m\) obiega Słońce po orbicie eliptycznej. W aphelium jej odległość od Słońca wynosi \(A,\) a w perihelium \(a.\) Ile wynosi moment pędu, \(L,\) tej planety? Masa Słońca równa jest \(M,\) a stała grawitacji \(G.\)

Rozwiązanie

Skorzystamy z praw: zachowania energii i momentu pędu. W perihelium i w aphelium prędkość planety jest prostopadła do odcinka łączącego środek planety ze środkiem Słońca. Oznaczmy prędkości w aphelium i w perihelium, odpowiednio, jako \(v_A\) i \(v_a.\) Mamy: \[L = mAv_A = mav_a,\] czyli: \(v_A = L/(mA)\) i \(v_a = L/(ma),\) oraz \[-\frac{GMm}{A} + \frac{mv_A^2}{2} = -\frac{GMm}{a} + \frac{mv_a^2}{2}.\] Po skorzystaniu ze związków prędkości z momentem pędu otrzymujemy równanie: \[-\frac{GMm}{A} + \frac{L^2}{2mA^2} = -\frac{GMm}{a} + \frac{L^2}{2ma^2}.\] Po prostych przekształceniach otrzymujemy odpowiedź: \[L = m\sqrt{\frac{2GMAa}{A+a}}.\]

Zadanie F 1114

W opisanym dalej układzie stojąca fala dźwiękowa może spełniać rolę siatki dyfrakcyjnej dla światła. Kuweta o przezroczystych, płaskich, równoległych ściankach jest wypełniona cieczą. Równolegle do ścianek kuwety w cieczy wzbudzona jest stojąca fala ultradźwiękowa o długości \(\Lambda.\) Wiązka światła laserowego o długości fali \(\lambda\) pada prostopadle do ścianek kuwety i do wektora falowego ultradźwięku. Jaki warunek spełniają powstające za kuwetą prążki interferencyjne światła?

Rozwiązanie

Zmianom ciśnienia towarzyszą zmiany prędkości światła w cieczy. W związku z tym kolejne zgęszczenia i rozrzedzenia cieczy wywołane falą akustyczną będą działały jak szczeliny siatki dyfrakcyjnej. Przyjmijmy, że stojąca fala ultradźwiękowa wzbudzana jest w kierunku \(x.\) Przesunięcia cząstek cieczy w kierunku \(x\) (dźwięk to fala podłużna) opisywane są wówczas wzorem (suma dwóch fal biegnących o przeciwnych zwrotach wektorów falowych): \[\begin{aligned} u(x,t) &= u_0 (\sin(\omega t - kx) - \sin(\omega t + kx))\\ &= 2u_0\cos(\omega t)\sin(kx). \end{aligned}\] W powyższych wzorach \(k = 2\pi/\Lambda\) oznacza długość wektora falowego, a \(\omega\) kołową częstość fali. Zbadajmy rozkład prędkości: \[v(x,t) = -2u_0\omega \sin(\omega t)\sin(kx).\] Węzły fali (\(v(x,t) = 0\)) pojawiają się w punktach, dla których \(kx = n\pi\) dla całkowitych \(n.\) Nie wszystkie te węzły są równoważne, bo jeśli przyjmiemy, że \(-2u_0\omega \sin(\omega t) > 0,\) to w węzłach odpowiadających nieparzystym \(n\) cząstki z obu stron poruszają się w kierunku węzła (zmiana znaku \(v\) z dodatniego na ujemny), a w węzłach o parzystym \(n\) oddalają się. Odległość kolejnych rozrzedzeń cieczy (,,szczelin” siatki) wynosi więc \(\Lambda\) i jest taka sama jak w przypadku rozpraszania na fali biegnącej. Kolejne prążki interferencyjne pojawiają się więc pod kątami \(\alpha\) do wiązki padającej spełniającymi warunek: \[\Lambda \sin(\alpha) = m\lambda\] z całkowitymi wartościami \(m.\)

Uwaga: Częstości ultradźwięków, rzędu MHz, są tak małe w porównaniu z częstościami fal świetlnych, że światło rozprasza się na fali ultradźwiękowej jak na nieruchomej siatce dyfrakcyjnej.