W pola tabeli \(9 \times 9\) wpisano liczby całkowite od 1 do 81 (w każdym polu znajduje się jedna liczba, wszystkie liczby są różne). Okazało się, że dowolne dwie liczby różniące się o 3 znajdują się w sąsiednich polach. Udowodnić, że różnica liczb wpisanych w pewne dwa narożne pola jest podzielna przez 6.
Pokolorujmy teraz pola tabeli w szachownicę, tak aby pola narożne były czarne. Rozważmy pola, w których wpisane są liczby \[x,\; x+3,\; x+6, \ldots,\; y-3,\; y.\] Każde dwie kolejne liczby w tym ciągu znajdują się w polach o wspólnym boku – to znaczy w polach o różnych kolorach. Oznacza to, że wszystkie liczby w naszym ciągu, które mają tę samą parzystość co \(x,\) znajdują się na czarnych polach, a cała reszta na polach białych. Ponieważ liczba \(y\) znajduje się na czarnym polu, ma taką samą parzystość jak \(x,\) to znaczy liczba \(y-x\) jest parzysta. W szczególności liczba \(y - x\) jest podzielna przez \(6.\)
Pięć krawędzi pewnego czworościanu jest stycznych do sfery. Udowodnić, że istnieje inny zbiór pięciu krawędzi tego czworościanu, z których każda jest styczna do pewnej sfery (niekoniecznie tej samej co wcześniej).
Pokażemy teraz, że ostatnia uzyskana równość daje nam styczność okręgów wpisanych w trójkąty \(ACD\) i \(BCD.\) Istotnie, niech te okręgi będą styczne do krawędzi \(CD\) w punktach odpowiednio \(P\) i \(Q.\) Wtedy, korzystając z twierdzenia o odcinkach stycznych (ale już dla trójkąta), łatwo dostajemy, że \(AC-AD= CP-PD\) i podobnie \(BC-BD=CQ-QD.\) Wobec tego zachodzi równość \(CP-PD=CQ-QD,\) która implikuje, że \(PQ=0,\) czyli \(P=Q.\)
Biorąc teraz sferę zawierającą okręgi wpisane w trójkąty \(ACD\) i \(BCD,\) widzimy, że jest ona styczna do krawędzi \(AC,\) \(AD,\) \(DB,\) \(BC,\) \(CD.\)
Udowodnić, że dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej \(n\) zachodzi nierówność \[(n!)!\leq (n-1)!^{n!}\cdot n!^{(n-1)!}.\]
Z brzegu balkonu, na wysokości \(H\) nad ziemią, Jacek upuszcza pionowo ołowiane kulki, każda o masie \(m.\) Stara się jak najdokładniej trafić w wyznaczony punkt. Dysponuje najprecyzyjniejszą dostępną aparaturą. Na podstawie zasady nieoznaczoności Heisenberga oszacuj typową odległość od celu, w jakiej będą lądowały kulki Jacka?
Oznacza to, że dla danego \(\Delta x\) dokładność, \(\Delta v,\) wyznaczenia prędkości (Jacek chce, żeby \(v = 0\)) ogranicza nierówność: \[\Delta v = \frac{\Delta p}{m} \ge \frac{\hbar}{m\Delta x},\] czyli \[\begin{aligned} s&=\Delta x+t\Delta v =\Delta x+t\frac{\Delta p}{m} \geq\Delta x+\frac{t \hbar}{m}\cdot\frac{1}{\Delta x}. \end{aligned}\] Funkcja \(f(z)=z+Az^{-1}\) osiąga minimum dla \(z=\sqrt{A}.\) Jej wartość w minimum to \(2\sqrt{A}.\) Stąd ostatecznie po podstawieniu danych obliczmy, że typowa odległość upadku kulki od celu wyniesie: \[s \ge 2\biggl(\frac{2H \hbar^2}{gm^2}\biggr)^{1/4}.\] Zadanie zaczerpnięte ze zbioru Berkeley Physics Problems With Solutions (red. Min Chen).
Belka o masie \(m\) i długości \(L\) spoczywa na poziomym, płaskim podłożu. Współczynnik tarcia między powierzchnią belki i podłożem wynosi \(\mu.\) Belka jest jednorodna, tzn. masa przypadająca na jednostkę jej długości jest stała i wynosi \(\rho.\) Jaka jest najmniejsza wartość \(F_{min}\) poziomej, punktowej (tzn. przyłożonej w jednym punkcie belki) siły potrzebnej do przesunięcia belki? Przyspieszenie ziemskie wynosi \(g.\) Pomijamy różnicę wartości współczynników tarcia statycznego i kinetycznego.