Big Bang. Leonhard Euler (1707–1783) zabłysnął w 1735 roku wzorem \[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.\] Jego pierwsze uzasadnienie było błędne [2], ale intuicja magiczna. Dowód, jaki podał w Introductio… (1748), nie budził już żadnych wątpliwości. Tożsamość Eulera wykażemy elementarnie.
Bogini Namagiri. Srinivasa Ramanujan (1887–1920) był genialnym samoukiem. Pozostawił około 3900 wzorów matematycznych. Wielu z nich nikt dotąd nie potrafi udowodnić. Dla Ramanujana były one tak oczywiste, że nie widział potrzeby ich uzasadniania (zob. \(\Delta_{18}^3\)). Mawiał, że to bogini Namagiri z Namakkal zawdzięcza swe uzdolnienia matematyczne.
Dowód wzoru Eulera (styl Ramanujana) \[\begin{aligned} 1&= \frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{2}}\stackrel{\rm(a)}{=}\frac{1}{4}\bigg[\frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{4}}+\frac{1}{\sin^2\frac{3\pi}{4}}\bigg]=\\ &= \frac{1}{16}\bigg[\frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{8}}+\frac{1}{\sin^2\frac{3\pi}{8}}+\frac{1}{\sin^2\frac{5\pi}{8}}+\frac{1}{\sin^2\frac{7\pi}{8}}\bigg]=\ldots = \frac{1}{4^n}\sum\limits_{k=0}^{2^n-1}\frac{1}{\sin^2\frac{(2k+1)\pi}{2^{n+1}}}\stackrel{\rm(b)}{=}\\&\stackrel{\rm(b)}{=}\sum\limits_{k=0}^{2^{n-1}-1}\frac{2}{4^n}\cdot \frac{1}{\sin^2\frac{(2k+1)\pi}{2^{n+1}}} \xrightarrow[n\to\infty]{\rm(c)}\frac{8}{\pi^2}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^2}, \end{aligned}\] więc wzór Eulera wynika z równości: \[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\sum\limits_{\scriptstyle n\ \textrm{nieparzyste}}\frac{1}{n^2}+\sum\limits_{\scriptstyle n\ \textrm{parzyste}}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{8}+\frac{1}{4}\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.{\Box\ \ \ }\]
Dla ,,mięczaków”. Kto przeglądał rękopisy Ramanujana (dostępne w Internecie), wie, że to mieszanka niezwykle oryginalnych, zaskakujących pomysłów i ukrytej głębokiej wiedzy. Oto kilka podpowiedzi ułatwiających zrozumienie podanego dowodu.
Korzystając z jedynki trygonometrycznej, wzorów \(\sin 2x=2\sin x\cos x\) oraz \(\cos x = \sin (x+\frac{\pi}{2}),\) \(x\in \mathbb{R},\) otrzymujemy: \[\frac{1}{\sin^2 x}=\frac{1}{4\sin^2\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}}= \frac{1}{4}\bigg[\frac{1}{\sin^2\frac{x}{2}}+\frac{1}{\cos^2\frac{x}{2}}\bigg]=\frac{1}{4}\bigg[\frac{1}{\sin^2\frac{x}{2}}+\frac{1}{\sin^2\frac{x+\pi}{2}}\bigg].\]
Gdy \(k\) zmienia się od \(0\) do \(2^n-1,\) to wartości \(\sin\frac{(2k+1)\pi}{2^{n+1}}\) rozmieszczone są na wykresie funkcji \(\sin x,\) \(x\in (0,\pi),\) symetrycznie względem prostej \(x=\frac{\pi}{2}.\) Rozważymy argumenty należące do przedziału \((0,\frac{\pi}{2}),\) tj. wartości \(\sin\frac{(2k+1)\pi}{2^{n+1}},\) gdy \(k\) zmienia się od \(0\) do \(2^{n-1}-1.\) Stąd mnożenie odpowiedniej sumy przez \(2.\)
Gdy \(x\in (0,\frac{\pi}{2}),\) to \(\sin x < x <\tan x\) i \(\frac{1}{\tan^2x}=\frac{\cos^2x}{\sin^2x}=\frac{1}{\sin^2x}-1,\) więc \({\frac{1}{\sin^2x}>\frac{1}{x^2}>\frac{1}{\sin^2x}-1}.\) Przyjmując kolejno \(x=\frac{(2k+1)\pi}{2^{n+1}},\) \(k=0,1,\dots,2^{n-1}-1,\) dostajemy: \[\begin{aligned} \sum\limits_{k=0}^{2^{n-1}-1}\frac{2}{4^n}\cdot \frac{1}{\sin^2\frac{(2k+1)\pi}{2^{n+1}}} &> \sum\limits_{k=0}^{2^{n-1}-1}\frac{2}{4^n}\cdot \frac{1}{\big[\frac{(2k+1)\pi}{2^{n+1}}\big]^2}\\ &>\sum\limits_{k=0}^{2^{n-1}-1}\frac{2}{4^n}\cdot \frac{1}{\sin^2\frac{(2k+1)\pi}{2^{n+1}}} -\sum\limits_{k=0}^{2^{n-1}-1}\frac{2}{4^n}, \end{aligned}\] czyli \(1> \frac{8}{\pi^2}\cdot\sum\limits_{k=0}^{2^{n-1}-1}\frac{1}{(2k+1)^2}>1-\frac{1}{2^n}.\)
Pouczające jest poznanie (porównanie) innych dowodów wzoru Eulera podanych np. w [1].
Literatura
[1] M. Aigner, G.M. Ziegler, Dowody z Księgi, WN PWN, Warszawa 2002.
[2] J. Górnicki, Od bzdury do bingo!, Matematyka-Społeczeństwo-Nauczanie 49 (2012), 21–25.