Klub 44

Niech \({M^*=\{n{+}1,n{+}2,\ldots,2n{+}1\}}\) i niech \(S\) będzie sumą elementów zbioru \(M^*.\) Niech \({M_k=M^*\setminus\{k\}}\) (dla \({k\in{M^*}}\)). Będziemy mówili, że liczba \({k\in{M^*}}\) jest ciekawa, gdy suma elementów zbioru \(M_k\) (czyli liczba \({S-k}\)) nie dzieli się przez żaden z nich.

(a) Należy wykazać, że co najmniej jedna liczba \({k\in{M^*}}\) jest ciekawa. Przyjmijmy dalsze oznaczenie: \[N_k=\{i\in{M^*}\colon\;i\,|\,S-k\}.\] Odnotujmy proste własności:
\(W1.\)   Jeśli \({N_k=\emptyset},\) to liczba \(k\) jest ciekawa.
\(W2.\)   Jeśli \({k|S},\) to \({k\in{N_k}}\) (więc \({N_k\ne\emptyset}\)).
\(W3.\)   Jeśli \({k|S}\) oraz \({|N_k|=1},\) to liczba \(k\) jest ciekawa.
\(W4.\)   Zbiory \(N_k\) są parami rozłączne.
Własności \(W1,\) \(W2,\) \(W3\) są oczywiste. Dowód \(W4\): gdyby \({i_0\in{N_k}\cap{N_l}}\) (\({k>l}\)), to \({i_0|k-l}\); a to niemożliwe, bo \({i_0\ge{n+1}},\) zaś \({k-l\le(2n{+}1)-(n{+}1)=n}.\) Z własności \(W4\) wynika, że \[\sum_{k\in{M^*}}|N_k|\le\bigl|M^*\bigr|=n+1. \ \ \ (*)\] Suma \((*)\) ma \({n+1}\) składników. Jeżeli któryś z nich jest zerem, to jest to już teza (a) (własność \(W1\)). Jeżeli nie, to wszystkie są równe 1. Prosty rachunek pokazuje, że \({S=cd},\) gdzie \({c=n+1},\) \({d={3\over 2}n+1}\) (\({c,d\in{M^*}}\)); więc i teraz dostajemy tezę (a), bo (dzięki \(W3\)) liczba \(c\) jest ciekawa (\(d\) zresztą też).

(b) Tu też odpowiedź jest twierdząca: wykażemy, że w zbiorze \(M^*\) są co najmniej dwie liczby ciekawe. Jeśli wśród składników sumy \((*)\) są co najmniej dwa zera, to gotowe (\(W1\)). Jeśli wszystkie są dodatnie, to są jedynkami i znów (wobec \(W3\)) liczby \(c\) i \(d\) są obie ciekawe.

Pozostaje przypadek, gdy wśród składników sumy \((*)\) jest dokładnie jedno zero; niech np. \({|N_e|=0}\): liczba \(e\) jest więc ciekawa (\(W1\)); \({e\ne{c,d}},\) bo \({N_c,N_d\ne\emptyset}\) (\(W2\)). Pozostałe składniki sumy \((*)\) to albo same jedynki, albo dwójka i poza nią jedynki. Co najmniej jedna z liczb \(c,d\) musi być wśród jedynek – jest więc ciekawa (\(W3\)); dowód zakończony.

Oznaczmy \({W_j(1)=c_j}.\) Weźmy dowolną liczbę \(n\) postaci \({n=kc_1\ldots{c_m}+1}\) (\({k\in{\bf N}}\)). Ustalmy \({j\in\{1,\ldots,m\}}.\) Różnica \({W_j(n)-W_j(1)}\) dzieli się przez \({n-1},\) więc i przez \(c_j.\) Skoro \({c_j=W_j(1)},\) znaczy to, że \(W_j(n)\) dzieli się przez \(c_j.\) Przy tym dla dostatecznie dużych \(n\) wartość \(W_j(n)\) przekracza \(c_j\); jest więc liczbą złożoną. Tak jest dla każdego numeru \(j,\) skąd wniosek, że dla dostatecznie dużych \(n\) (rozważanej postaci) wszystkie wartości \(W_1(n),\ldots,W_m(n)\) są liczbami złożonymi.

W inercjalnym układzie odniesienia związanym z rurką, ciecz w dolnej części rurki porusza się z prędkością \(v.\) W czasie \(\Delta t\) do rurki wpływa porcja cieczy o masie \(m=\rho S_1v\Delta t\) i pędzie \(p_1=mv=\rho S_1v^2\Delta t.\) W tym samym czasie porcja o takiej samej masie wycieka z górnej części rurki z prędkością \(u={vS_1}/{S_2},\) a jej pęd \(p_2=\rho S_2u^2\Delta t=\rho v^2{S_1}^2{\Delta t}/{S_2}.\) Wektor zmiany pędu cieczy w rurce w czasie \(\Delta t\) ma wartość \(\Delta p=mv-\left(-mu\right)=\rho S_1\left(1+{S_1}/{S_2}\right)v^2\Delta t\) i skierowany jest w prawo. Ciecz działa na rurkę w lewo, a szukana siła zewnętrzna działająca na rurkę nie zależy od wyboru inercjalnego układu odniesienia, skierowana jest w prawo i ma wartość \[F={\Delta p}/{\Delta t}=\rho S_1\left(1+{S_1}/{S_2}\right)v^2.\]

Po zamknięciu kluczy \(K_1\) i \(K_3\) kondensatory są połączone równolegle z baterią, a ładunki na nich to \({Q_1=C}_1\varepsilon\) i \(Q_2=C_2\varepsilon .\) Sytuację przed zamknięciem klucza \(K_2\) przedstawia rysunek 5.

Po zamknięciu klucza \(K_2\) do prawej okładki kondensatora \(C_2\) dopływa ładunek \(q,\) z lewej okładki kondensatora \(C_1\) odpływa taki sam ładunek. Całkowity ładunek na wewnętrznych okładkach pozostaje niezmieniony (rys. 6). Z drugiego prawa Kirchhoffa mamy: \(\varepsilon ={{\left(Q_2-q\right)}/{C_2}-{\left(Q_1+q\right)}/{C}}_1,\) stąd \(q={C_1C_2\varepsilon }/{\left(C_1+C_2\right)}.\) Napięcie końcowe na kondensatorze \(C_1\) wynosi: \[U={\left(Q_1+q\right)}/{C_1}={\varepsilon \left(C_1+2C_2\right)}/{\left(C_1+C_2\right)}.\]