Klub 44

Niech \(c\) będzie kresem górnym zbioru \(\{x\in[a,b]\colon\;f(x)\ge0\}\) (niepustego, bo \({f(a)>0}\)). Istnieje zatem ciąg \((x_n)\) elementów tego zbioru (być może stały od pewnego miejsca), zbieżny od lewej strony do \(c.\) Funkcja \(g\) jest rosnąca, więc \({g(x_n)\le{g(c)}}\) dla wszystkich \(n.\) Funkcja \({\varphi=f-g}\) jest ciągła, więc \({\varphi(x_n)\to\varphi(c)}\); przy tym \({\varphi(x_n)=f(x_n)-g(x_n)\ge0-g(c)},\) skąd wniosek, że \({\varphi(c)\ge-g(c)},\) czyli \({f(c)\ge0}.\)

Skoro (z założenia) \({f(b)<0},\) zatem \({c<b}.\) Z określenia liczby \(c\) wynika, że dla \({x\in(c,b]}\) zachodzi nierówność \({f(x)<0}\); a także nierówność \({g(x)>g(c)},\) bo \(g\) jest funkcją rosnącą. Wobec tego \({\varphi(x)=f(x)-g(x)<0-g(c)}\) dla \({x\in(c,b]}.\) W granicy, gdy \(x\) dąży do \(c\) (od prawej strony), dostajemy \({\varphi(c)\le-g(c)}.\)

Uzyskane nierówności pokazują, że \({\varphi(c)=-g(c)}\); a to znaczy, że \({f(c)=0}.\)

Istnieje takie rozbicie. Opis metody: określamy funkcję \({f\colon\,\mathbb{Q}_{+}\to\mathbb{Q}_{+}}\) wzorami \[f(x)= \begin{cases} 1/{x}=:f_0(x)&\text{dla $x\le1,$}\\ x-1=:f_1(x)&\text{dla $x>1.$}\\ \end{cases}\] Startujemy od dowolnej liczby \({x\in\mathbb{Q}_{+}}\) i iterujemy przekształcenie \(f\) (więc w każdym kroku stosujemy \(f_0\) lub \(f_1,\) w zależności od tego, czy jesteśmy w przedziale \((0,1],\) czy \((1,\infty)\)). Zauważmy, że jeśli liczba wymierna (dodatnia) jest zapisana w postaci ułamka nieskracalnego, wówczas przy zastosowaniu funkcji \(f_1\) suma licznika i mianownika zmniejsza się; zaś przy zastosowaniu \(f_0\) ta suma nie ulega zmianie. Jednak po zastosowaniu \(f_0\) jesteśmy w przedziale \((1,\infty)\) i w następnym kroku działamy znów funkcją \(f_1,\) zmniejszając sumę licznika i mianownika. Wniosek: po skończenie wielu krokach trafimy w liczbę 1. Kończymy wtedy procedurę iteracyjną.

Jeśli, startując od liczby \(x,\) stosowaliśmy kolejno funkcje \(f_{i_1},f_{i_2},\ldots,f_{i_k},\) wówczas \((i_1,i_2,\ldots,i_k)\) jest ciągiem zerojedynkowym (skończonej długości), który możemy uważać za kod liczby \(x.\)

Przykład: dla \({x={27\over 98}}\) dostajemy trajektorię \[\textstyle {27\over 98} {\Rightarrow} {98\over 27} {\rightarrow} {71\over 27} {\rightarrow} {44\over 27} {\rightarrow} {17\over 27} {\Rightarrow} {27\over 17} {\rightarrow} {10\over 17} {\Rightarrow} {17\over 10} {\rightarrow} {7\over 10} {\Rightarrow} {10\over 7} {\rightarrow} {3\over 7} {\Rightarrow} {7\over 3} {\rightarrow} {4\over 3} {\rightarrow} {1\over 3} {\Rightarrow} {3\over 1} {\rightarrow} {2\over 1} {\rightarrow} {1\over 1}\] (strzałka \(\Rightarrow\) oznacza zastosowanie operacji \(f_0\); strzałka \(\rightarrow\) oznacza \(f_1\)). Kod liczby \({27\over 98}\) to \((0111010101011011).\) [Można tu dostrzec rozbudowaną postać algorytmu Euklidesa].

Dla dowolnej liczby \({x\in\mathbb{Q}_{+}}\) określamy \(S(x)\) jako sumę symboli w jej kodzie: \({S(x)=i_1+\ldots+i_k}\) (czyli liczbę jedynek; np. \({S({27\over 98})=10}\); \({S(1)=0}\) (kod pusty)). I teraz: jeśli \(S(x)\) ma wartość parzystą, wrzucamy liczbę \(x\) do zbioru \(A\); jeśli nieparzystą – to do zbioru \(B.\) Wymagane warunki są spełnione: gdy \({xy=1}\) oraz (b.s.o.) \({x<1},\) to \({y=f(x)=f_0(x)}\); kody liczb \(x,\) \(y\) mają tyle samo jedynek, więc te liczby są obie w \(A\) lub obie w \(B.\) Gdy zaś \({x-y=1},\) to \({y=f(x)=f_1(x)},\) kody liczb \(x,\) \(y\) różnią się o jedną jedynkę, więc te liczby leżą jedna w \(A,\) druga w \(B.\)

[Czytelnikowi Wnikliwemu proponujemy zastanowienie się, czy przedstawiona konstrukcja rozbicia \({\mathbb{Q}_{+}=A\cup{B}}\) (o żądanej własności) jest jedyną możliwą (z dokładnością do zamiany symboli \({A\leftrightarrow{B}}\))].

Na rysunku 3 zaznaczono siły działające na obręcz. Ponieważ nie występuje poślizg, możemy napisać równanie ruchu obrotowego obręczy wokół chwilowej osi obrotu przechodzącej przez punkt \(A\): \[\tag{1} \label{GrindEQ__1_} 2MR^2\varepsilon =2kxR+Nx,\] gdzie \(N\) jest siłą nacisku kulki na rurkę, \(2kx\) wypadkową siłą sprężystości.

Przyspieszenie kątowe \(\varepsilon\) wiąże się z szukanym przyspieszeniem \(a\ \)środka obręczy wzorem \[\tag{2} \label{GrindEQ__2_} \varepsilon ={a}/{R}.\] Siłę nacisku \(N\ \) znajdziemy z równania ruchu kulki w pionie: \[\tag{3} \label{GrindEQ__3_} m\varepsilon x=mg-N.\] Z równań \(\eqref{GrindEQ__1_}\)–\(\eqref{GrindEQ__3_}\) otrzymujemy: \[a={\left(mg+2kR\right)xR\over 2MR^2+mx^2}.\]

Ładunki na każdym z kondensatorów po odłączeniu baterii wynoszą \(Q={C\mathcal{E} }/{3}.\) Po dołączeniu oporników, gdy prądy już nie płyną, kondensatory są połączone równolegle. Z dodatnio naładowanej okładki odpłynął ładunek \(q\) i wpłynął na ujemnie naładowane okładki kondensatorów zewnętrznych (rys. 4). Ponieważ napięcia na kondensatorach są jednakowe, \(Q-q=-Q+{q}/{2},\) stąd \(q={4C\mathcal{E} }/{9}.\) Ładunki na prawych okładkach są równe \(Q-q=-{C\mathcal{E} }/{9}.\) Początkowa energia układu wynosi \(W_1=3{Q^2}/2C={C\mathcal{E}^2}/{6},\) końcowa \(W_2={C\mathcal{E}^2}/{54}.\) Ciepło wydzielone na każdym oporniku jest równe \[W={\left(W_1-W_2\right)}/{2}={2C\mathcal{E}^2}/{27.}\] Ponieważ podczas przeładowywania zmieniają się znaki ładunków na środkowym kondensatorze, napięcie \({\mathcal{E} }/{10}\) pojawia się na nim dwukrotnie – podczas rozładowywania od \({\mathcal{E} }/{3}\) do zera i podczas ładowania od 0 do \({\mathcal{E} }/{9}.\)

Rozważmy przypadek pierwszy. Ładunek \(q_1\) odpływający z okładki środkowego kondensatora znajdujemy z równania \(Q-q_1={C\mathcal{E} }/{10},\) stąd \(q_1={C\mathcal{E} }/{30}.\) Ładunek końcowy w rozważanym procesie na okładce kondensatora bocznego wynosi \(-{C\mathcal{E} }/{3+{q_1}/{2=-{13C\mathcal{E} }/{60}}}.\) Z drugiego prawa Kirchhoffa dla dolnego oczka otrzymujemy: \({\mathcal{E} }/{10}-RI_1+13{\mathcal{E} }/{60}=0,\) stąd szukane natężenie prądu \({I_1={19\mathcal{E} }/{60R}}.\)

W drugim przypadku analogiczne równania mają postać: \[Q-q_2=-{C\mathcal{E} }/{10}, \ \ \ -{C\mathcal{E} }/{3}+{q_2}/{2}=-{7C\mathcal{E} }/{60}, \ \ \ -{\mathcal{E} }/{10}-RI_2+{7\mathcal{E} }/{60=0},\] a szukane natężenie \(I_2={\mathcal{E} }/{60R}.\)