Klub 44

Znajdujemy w ciągu \((x_i)\) blok 10 (jeśli istnieje) i wykonujemy transpozycję \({10\mapsto01}.\) To znaczy, znajdujemy dowolny numer \({\ell<N},\) dla którego \({x_\ell=1},\) \({x_{\ell+1}=0}\) (więc \({a_{\ell+1}=a_\ell+1},\) \({b_{\ell+1}=b_\ell-1},\) \({c_{\ell+1}=c_\ell}\)) i tworzymy ciąg \((x'_1,\ldots,x'_N),\) przyjmując \[x'_\ell=0,\ \ \ x'_{\ell+1}=1,\ \ \ x'_i=x_i\ \ \ \hbox{dla}\;i\ne\ell,\ell{+}1.\] Określamy (jak dla ciągu \((x_i)\)): \({a'_k=\sum_{i<k}x'_i},\) \({b'_k=\sum_{i>k}(1-x'_i)},\) \({c'_k=a'_k+b'_k}.\) Wtedy \[\displaylines{ a'_k=a_k,\ \ \ b'_k=b_k\ \ \ \hbox{dla}\;k\ne\ell,\ell{+}1;\cr a'_\ell=a_\ell,\ \ \ a'_{\ell+1}=a_\ell-1,\ \ \ b'_\ell=b_\ell-1,\ \ \ b'_{\ell+1}=b_{\ell+1}.\cr }\]

Stąd \[c'_\ell=c_\ell-1,\ \ \ c'_{\ell+1}=c_{\ell+1}-1,\ \ \ c'_k=c_k\ \ \ \hbox{dla}\;k\ne\ell,\ell{+}1.\] Każda wartość, wcześniej obecna [lub nieobecna] w ciągu \((c_i),\) mogła zniknąć [lub pojawić się] jedynie jednocześnie na dwóch pozycjach. Wobec tego wartość \(z\) powinna wystąpić w ciągu \((c'_k)\) nadal nieparzyście wiele razy, a każda inna wartość – parzyście wiele razy.

Powtarzając takie transpozycje, doprowadzamy ciąg \((x_i)\) do postaci bez sekwencji 10; czyli do postaci \((\underbrace{0,\ldots,0}_s,\underbrace{1,\ldots,1}_{N-s})\); liczba wystąpień dowolnej wartości nie zmieniła przy tym parzystości. Uzyskany ciąg generuje (jak w treści zadania) ciągi \((a_k),\) \((b_k)\) dane jawnymi wzorami: \[a_k=\begin{cases} 0&\text{dla $k\le{s},$}\\ k{-}s{-}1&\text{dla $k>s,$}\\ \end{cases} \ \ \ \ b_k=\begin{cases} s{-}k&\text{dla $k\le{s},$}\\ 0&\text{dla $k>s.$}\\ \end{cases}\] Ciąg \((c_k)\) wygląda teraz tak: \[(\underbrace{s{-}1,s{-}2,\ldots,1,0}_s,\underbrace{0,1,\ldots,N{-}s{-}2,N{-}s{-}1}_{N-s}).\] Wyrazy centralne grupują się w pary. Liczba \(z,\) która ma wystąpić nieparzyście wiele razy – co teraz oznacza: dokładnie jeden raz – i być przy tym jedyną o tej własności, musi być jednym ze skrajnych wyrazów; zaś grupowanie w pary musi objąć wszystkie wyrazy pozostałe. To znaczy: wyraz pierwszy musi być równy przedostatniemu (\({s{-}1=N{-}s{-}2},\) i wtedy \({z=N{-}s{-}1}\)); lub wyraz drugi równy ostatniemu (\({s{-}2=N{-}s{-}1},\) i wtedy \({z=s{-}1}\)). W pierwszym przypadku \({s={1\over 2}(N-1)}\); w drugim \({s={1\over 2}(N+1)}.\) W obu przypadkach \({z={1\over 2}(N-1)}.\) Jest to jedyna możliwa wartość, o jaką pyta zadanie. Uzyskiwana jest dla każdego ciągu \((x_i),\) w którym liczba zer (czyli \(s\)) różni się o 1 od liczby jedynek.

Funkcja \({f(t)=(t^2+t+1)^{-1}}\) ma pochodną drugiego rzędu, wyrażającą się wzorem  \({f''(t)=6(t^2+t+1)^{-3}(t^2+t)},\)  dodatnią dla \({t\ge0},\) co oznacza, że \(f\) jest wypukła w przedziale \([0,\infty).\) Stosujemy nierówność Jensena (z wagami \({x\over 3},{y\over 3},{z\over 3},\) o sumie 1): \[{x\over 3}\,f(y)+{y\over 3}\,f(z)+{z\over 3}\,f(x)\ge f\Bigl({xy\over 3}+{yz\over 3}+{zx\over 3}\Bigr).\] Wyrażenie po lewej stronie – to suma dana w zadaniu, podzielona przez 3. Wystarczy zatem dowieść, że dla \({w=xy+yz+zx}\) zachodzi nierówność \({f(w/3)\ge1/3}.\)

Ponieważ \({w\le{x^2+y^2+z^2}},\) więc \({3w\le2w+(x^2+y^2+z^2)=(x+y+z)^2=9},\) czyli \({w/3\le1}.\) Funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \([0,\infty),\) zaś \({f(1)=1/3}.\) Stąd \({f(w/3)\ge1/3}.\)

Gdy energia rakiety osiąga wartość maksymalną, jej pochodna po czasie jest równa zeru: \[{d\over dt}\left({1\over 2}Mv^2\right)={1\over 2}{dM\over dt}v^2+{1\over 2}M2v{dv\over dt}=0,\] gdzie przez \(M\) oznaczyliśmy masę rakiety, stąd jej prędkość \[v={2M\over\mu }{dv\over dt}.\] \(\mu =-{dM}/{dt}\) jest stałą masą gazu wypływającego z rakiety w jednostce czasu.

Przyspieszenie rakiety \(a\) znajdziemy z zasady zachowania pędu układu rakieta–gaz, dla bardzo małego przedziału czasu (rys. 2): \[Mv=\mu \Delta t\left(v-v_0\right)+\left(M-\mu \Delta t\right)\left(v+\Delta v\right).\] Uwzględniając, że \(\mu \Delta t\ll M,\) otrzymujemy \[a={\Delta v}/{\Delta t={\mu v_0}/{M}}.\] Szukana prędkość, odpowiadająca maksymalnej energii kinetycznej rakiety, jest równa \(2v_0.\)

Prawo Kirchhoffa dla zamkniętego obwodu zwojnicy o zaniedbywalnym oporze ma postać: \[U-L_z{dI_z\over dt}={Q\over C},\] gdzie \(L_z\) jest indukcyjnością zwojnicy, \(Q\) ładunkiem na kondensatorze o pojemności \(C,\) a \(I_{z\ }\)natężeniem prądu w obwodzie. Korzystając ze związku \(I_z={dQ}/{dt},\) mamy: \[{d^2Q\over dt^2}+{Q\over L_zC}={U\over L_z}.\] Wprowadzając oznaczenia \({1}/{L_zC}={\omega }^2\) i \(q=Q-UC,\) otrzymujemy równanie oscylatora harmonicznego: \[{d^2q\over dt^2}+{\omega }^2q=0,\] z warunkami początkowymi w chwili zamknięcia klucza: \[q\left(0\right)=Q\left(0\right)-UC=-UC\ \ \ \text{oraz}\ \ \ {dq\over dt}% (0)=I_z\left(0\right)=0.\] Rozwiązanie tego równania ma postać: \[q\left(t\right)=-UC\cos\omega t,\] stąd \(I_z(t)=UC\omega \sin\omega t.\) Natężenie prądu \(I\) w nadprzewodzącym pierścieniu o indukcyjności \(L\) znajdziemy z równania \[-{d\phi \over dt}-L{dI\over dt}=0,\] gdzie \(\phi\) jest zewnętrznym strumieniem pola magnetycznego przez powierzchnię pierścienia. W chwili początkowej \(\phi \left(0\right)=0,\) zatem \(I=-{\phi }/{L}.\) Strumień \(\phi\) jest proporcjonalny do powierzchni pierścienia oraz do wartości wektora indukcji w zwojnicy, który z kolei jest proporcjonalny do natężenia prądu w zwojnicy: \(\phi \sim I_zD^2\sim UD^2.\) Uwzględniając to, otrzymujemy \[I\sim {UD^2\over L}.\] Maksymalna wartość siły elektrodynamicznej \(F\) działającej na pierścień w kierunku pionowym jest proporcjonalna do długości pierścienia, natężenia prądu w zwojnicy i natężenia prądu w pierścieniu: \[F\sim DII_z\sim {D^3U^2\over L}.\] Pierścień będzie podskakiwać, gdy siła \(F\) będzie większa od siły ciężkości działającej na pierścień, proporcjonalnej do \(Dd^2.\) W granicznym przypadku, gdy siły te równoważą się, \(D^3U^2/L\sim Dd^2,\) stąd \(U\sim d\sqrt{L}/D.\) W pierwszym przypadku rozważanym w zadaniu \(U_0\sim {d_1\sqrt{L_1}}/{D},\) w drugim \({U_0}'\sim d_2\sqrt{L_2}/D.\) Napięcie źródła w drugim przypadku musi spełniać warunek: \[U>U_0'=U_0\sqrt{{ln\left(1{,}4D/d_2\right)\over ln\left(1{,}4D/d_1\right)}}{d_2\over d_1}.\]